乘法游戏
Product Game 是个经典的乘法小游戏。玩得有点腻了，于是做了个升级版 。
玩不尽的游戏
原版里，所有乘积的位置都是固定的。很快人会记住整张表，哪些乘积更容易出现，哪些位置更危险，哪些路线最容易连成线。游戏失去趣味。新版里我把整个棋盘完全随机化了。看起来只是一个小改动，但背后是组合数量的爆炸。
对于一个 \(6 \times 6\) 的棋盘：
\[ 36! \approx 3.72 \times 10^{41} \]这是一个极其夸张的数字。即使每秒能测试 10 亿种排列方式，穷举全部可能性所需的时间，依然远远超过宇宙目前的年龄。有限的格子数量，却能因为“排列”产生近乎无限的差异性。这是数学很迷人的地方，规则也许很简单，但复杂性会自己涌现出来。
AI 也开始学习
后来学生开始抱怨“AI 太笨了”。于是我开始给它加一点“思考”。低等级的 AI 还比较像人类，会随机试探、经常犯错自投罗网；高等级则会开始计算概率、争夺关键路径、提前封锁路线。后来我发现，传统的“往后搜索几步”其实并不好用。于是干脆训练了一个很小的神经网络，让 AI 自己去学习
- 什么样的局面更危险
- 什么样的路线更容易形成连线
- 哪些数字组合更容易控制棋盘
有意思的是，明明只是个乘法小游戏，但当训练数量较大时，AI 就会慢慢发展出某种“局势感”。测试时还发现后手有明显优势。
看 AI 自己打架
后来很多学生喜欢做的事情已经不是亲自下棋，而是看两个 AI 自己对战 ⚔️。有时候它们会疯狂争夺中心区域，有时候会长时间互相封锁；甚至会出现一种“以退为进”的局面。
明明只是乘法表里的几个数字，但当规则、随机性与策略叠加之后，系统会慢慢长出一种近似“智能”的东西。这也是我一直觉得数学很迷人的地方：
复杂性，并不一定需要复杂规则。
延伸阅读